數學的浪漫 — 第二篇

立場新聞 2021/08/31 19:29

    這是〈數學的浪漫 – 第一篇〉的續集。
    先回顧一下。「浪漫」一詞未必指向愛情。它亦可解作：

    a feeling or sense of wonder, mystery, and remoteness from everyday life （譯：驚奇的、神秘的、和遠離日常生活的感覺）

    而本文的目標，是向讀者呈現數學在這種意義上的浪漫。
    我們之前完成了甲部（數學的各範疇），和乙部（正文）的第 1, 2, 3 部分：
    1. 跨越時空，歷久常新：數學的真確性（＊）
      小結：數學知識的真確性跨越時間和空間。
    2. 千年巨業：數學知識的存在形式（＊＊）
      小結：數學知識是以定義、定理、證明的形式存在。無數前人的奮鬥，建成了今日龐大的數學知識庫。
    3. 孤高獨立：數學之抽象（＊＊＊）
      小結：數學的研究對象是 formal patterns，即抽象且具邏輯的 patterns。第 3 部分展示了「抽象，脫離現實」一環。
    4. 宇宙的語言：數學的應用（＊＊）
    5. 渾然天成，深不見底：數學之邏輯性（＊＊＊）
    還記得＊號愈多則內容愈難。現在從乙部第 4 部分繼續。
    4. 宇宙的語言：數學的應用
    Person of the Year，年度風雲人物，是由美國《時代》雜誌於每年年底選出，代表著該年對世界最具影響力的人、群體、概念等。但較不為人知的，是原來《時代》於 1999 年曾評選出 Person of the Century，即 20 世紀最重要的人物！是誰？
    愛因斯坦（圖片來源）
    愛因斯坦。他偉大的原因，是創立了相對論。這包括他在 1905 年提出的狹義相對論，和 1915 年提出的廣義相對論。
    問題是，相對論到底說甚麼？如果在街上隨機問人，恐怕十個也沒有一個答得上。愛因斯坦貴為 20 世紀風雲人物，他的相對論可謂人類文明的一塊瑰寶，但絕大多數人卻對此毫無認識，只有少數科學家懂得欣賞。試想像，如果達文西的《蒙羅麗莎》無法在羅浮宮人流如潮的展覽廳展出，而須被鎖在守衛森嚴的地下收藏室，只供達官權貴觀賞。這不是很可惜嗎？
    然而，這也是無可奈何，因為相對論實在太難了！
    4.1. 相對論有多難？
    在 2015 年，即廣義相對論誕生 100 周年，哥倫比亞大學物理學家 Brian Greene 出席美國著名清談節目 The Late Show with Stephen Colbert，推廣相對論。（為方便，下文將簡稱廣義相對論為相對論）在深夜時段對普羅大眾解釋相對論，當然要深入淺出，盡量生動。為此他捧出許多道具，水樽、枱布、圓球等，以解釋引力現象，從而介紹廣義相對論。（正如上次我在第 3 部分為介紹 S3，搬出了地球、宇宙、飛船、Space Oddity 等雜物）
    但最後主持人來個有趣要求，反其道而行，請 Brian Greene 不要簡化，並假設他是個物理學和數學專家，來解釋相對論。結果頗有趣，請看以下片段（從 6 分 40 秒開始）：
    嘩，他倒背如流地諗的一大串是甚麼？讓我們一字不漏記錄下來：

    Brian Greene: So Albert Einstein says that, spacetime is a four-dimensional Hausdorff differentiable manifold, on which a metric tensor is imposed, that solves the Einstein field equation. And that metric tensor gives rise to geodesics, and objects that are not experiencing any other force move along the geodesics described by that metric!

    Stephen Colbert: That, that, that’s the SHIT, right there!

    我把它稍作調整，並翻譯成中文：

    (19) 廣義相對論

    時空是一個 4 維光滑流形，且擁有一個符合 Einstein field equations 的黎曼量度，這個黎曼量度決定了時空中的測地線。而只在引力影響下，時空中任何的物體的移動軌跡，便是這些測地線。

    哈，相對論有多難，現在有頭緒了！還記得「光滑流形」嗎？它首先出現在〈數學的浪漫 – 第一篇〉的定義 (5)，是高等數學概念，其嚴格定義建立於大量「較低層」的概念。然後我在 3.4.1 部分嘗試大眾化地解釋其意思，花了 3,000 字。而「黎曼量度」和「測地線」的定義，則更是建立於光滑流形之上！如此看來，相對論擺明是生人勿近，亦難怪大眾無法欣賞了。
    由此我們得到一個重要觀測：相對論雖是物理學的範疇，卻要用上大量高等數學。這便引導出第 4 部分的主題：
    4.2. 宇宙的語言
    數學，是宇宙的語言，也可稱為自然科學的語言。意思是：要研究自然科學，必須透過數學。這不是我說的，以下的科學界巨人也曾如是說。
    • 十六世紀著名天文學家伽利略曾說：(The universe) cannot be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language.［出自 Opere Il Saggiatore］
    • 1963 年諾貝爾物理學獎得主 Wigner 有篇論文，題為：The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences ［來自 Communications on Pure and Applied Mathematics. 13］
    • 1965 年諾貝爾物理學獎得主 Feynman （費曼）曾說：To those who do not know mathematics it is difficult to get across a real feeling as to the beauty, the deepest beauty, of nature … If you want to learn about nature, to appreciate nature, it is necessary to understand the language that she speaks in. ［出自 The Relation of Mathematics to Physics］
    其實不必訴諸權威：如你在中學有修理科，應還記得物理學教科書都是寫滿數學算式。當然，我講過「計算」只是數學狹窄一面，但如果你幸讀到大學甚至研究研程度，便會發現愈高深的物理學，便要運用愈高深的數學，而非一味按計數機計算。總之，科學和數學，是如魚得水。而正如 4.1 部分所顯示，連偉大的相對論，也要運用高等數學。
    這不是很神奇嗎？
    「Err… 係啩？」你心裡想。
    我估許多讀者仍是半信半疑。或只是知道，卻未 feel 到。這也難怪，因為你根本不知道相對論說甚麼，它有多偉大，只能囫圇吞棗。
    有見及此，以下一起輕輕鬆鬆學點相對論吧！
    4.3. 相對論有何用？(I)
    一切得從偉大的英國科學家牛頓說起。
    相傳牛頓被蘋果樹襲擊後，成了天才。他隨之意識到，「蘋果墜落地面」和「地球圍繞太陽公轉」兩種現象背後有同一原因：引力。他指出萬物之間都會互相吸引，這便是所謂萬有引力。不但如此，他更發現了計算引力的方程式：

    定律 (18) 萬有引力定律

    引力 = Gm1m2 / r2

    這時是 1687 年。首次聽聞萬有引力的人，往往感到難以置信，因為這太不符常識了。舉例，如果說「蘋果墜落地面」和「地球圍繞太陽公轉」皆源於萬有引力，那要如何解釋：蘋果墜落地面的軌跡是垂直的或拋物線的，但地球圍繞太陽的軌跡卻（大約）是圓形的？
    換言話，我們應如何以萬有引力定律 (18) 來計算不同物體在引力下的移動軌跡？
    牛頓為了解決這問題，發明了微積分。
    然後，他才 26 歲。
    從此，人們借助牛頓的萬有引力定律，計算星體運行軌跡。而這些計算結果，既符合已有的天文觀測紀錄，亦能準確無誤地預測未來的星體走向。萬有引力定律可謂大獲成功，牛頓亦享負盛名。
    歲月靜好，直至 19 世紀。
    在 1859 年，法國科學家 Le Verrier 綜合過去百多年對水星圍繞太陽公轉的觀測數據，得出一個重大發現：水星真實的軌跡，與萬有引力定律的計算有誤差！留意，在八大行星中，水星最接近太陽。人們發現，萬有引力定律對於較遠的行星，如金星、地球、火星等，是適用的。但當靠太陽太近，如水星般，便有遍差，不能準確計算其軌跡。
    這可是一個大問題啊！這意味，萬有引力定律也是有局限的，並非牛頓所宣稱的如此「萬有」。其實這正正吻合 1.2 部分所提及的「數學和科學的分別」：數學知識是歷久常新的，而科學知識則有機會需被修正。物理學家絞盡腦汁地尋找一個新理論，來彌補萬有引力定律的漏洞。而對新理論的追求，整整持續了幾十年，一直到下一個天才的誕生：愛因斯坦。
    1905 年，被稱為物理學的奇跡年。當年，愛因斯坦發表了一系列革命性的結果，這包括狹義相對論，E=mc2 等。愛因斯坦的名氣已如日中天。而在 1916 年，他又發表了廣義相對論。這旋即為物理學為帶來翻天覆地之變。而相對論的其中一項應用，正是用來計算星體運行軌跡。人們發現，相對論完完全全符合現實的觀測數據！不論是靠近太陽的水星，或是遠在天邊的冥王星；亦不論是密度低的氣體恆星，或是密度超高的中子星，甚或黑洞。總之相對論威力無邊，讓任何星體的運行軌跡也一覽無遺。自此，愛因斯坦的廣義相對論被公認為牛頓的萬有引力定律的進化版。如狂風掃落葉般，那水星軌跡問題也順便被解決了。
    4.4. 相對論有何用？(II)
    以上的故事，應讓大家對「相對論有何用？」有個粗略概念。但相對論的偉大，遠不止於此用來「計算星體軌跡」。相對論，徹底革新了物理學家對時間、空間、引力、和物體移動軌跡的認知，簡直揭開了宇宙的奧袐。回顧上文的 (19)：

    (19) 廣義相對論

    時空是一個 4 維光滑流形，且擁有一個符合 Einstein field equations 的黎曼量度，這個黎曼量度決定了時空中的測地線。而只在引力影響下，時空中任何的物體的移動軌跡，便是這些測地線。

    這短短兩行，蘊含了相對論的精髓。你望著它，有沒有躍躍欲試，想要參透它的好奇心？
    相對論確實是難。不過！大家現已經歷過 3.4 和 4.3 部分的洗禮，應該有本事稍為明白多一點。既然一場來到，便讓我三言兩語地把 (19) 逐句拆解。如果看不明也不緊要，可以直接跳去 4.5 部分。
    「時空是一個 4 維光滑流形」：所謂「時空」，是時間和空間的並稱。在 3.4.2 部分 我曾問：宇宙空間是哪個流形？我提到理論上，可以是 ℝ3、D3、S3、甚或其他，但也無論如何也應是三維的，因為現實是三維的。故空間是三維的。而時間，無時無刻往一個方向流動：未來。又正所謂光陰似箭，而箭只向前飛。所以時間是一維的。於是 3 + 1 = 4，時空是四維流形。但正如前述，四維流形是抽象和超現實的，無法如二維或三維流形般畫出來。
    「且擁有一個符合 Einstein field equations 的黎曼量度」：這句話你不明白，但請留意一點：它提到「黎量度量」。這概念屬於黎曼幾何學，是一門由偉大數學家 Riemann（黎曼）開創的幾何學分支。這觀察將在 4.6 部分對我們非常重要。順帶一提， Einstein field equation 長這個樣：

    Rμν – Rgμν/2 + Λgμν = 8πGTμν/c4

    只論外貌，已比萬有引力定律 (18) 複雜許多吧。
    「這個黎曼量度決定了時空中的測地線」：所謂「測地線」，名符其實，真的是指一些線。所以這句說在時空這個四維流形上，存在一些十分特別的線。
    「而只在引力影響下，時空中任何物體的移動軌跡，便是這些測地線」：最後這句是關鍵，它告訴我們，相對論可以計算星體的移動軌跡。 正因如此，相對論修補了萬有引力定律的漏洞，讓我們準確計算水星的軌跡。
    時空及其測地線（只是象徵圖，非完全準確）（圖片來源）
    4.5. 一個次序問題
    好，說了這麼久故事，也差不多了。我們的目的是帶出「連偉大的相對論，也要運用高等數學，這不是很神奇嗎？」相對論如何偉大，現在大家也有些概念吧。至於相對論須建基於高等數學，在 4.4 部分也十分明顯了。
    所以，連偉大的相對論，也要運用高等數學。這不是很神奇嗎？
    其實，如果你心思細密，再想深一層，則可能發現，可能未必有甚麼神奇。原因如下：
    我們已知道偉大的相對論需要運用高等數學，這背後代表：數學是自然科學的語言。然而，要導致這現象，有兩種可能情況：
    A. 人們為了研究自然科學，而創造了合適的數學理論。
    B. 人們首先創造了一些數學理論，繼而發現這些數學在研究自然科學時大派用場。
    換言之，情況 A 是自然科學推進了數學發展，B 則是反過來數學推進了自然科學發展。
    那究竟是 A 還是 B 呢？如果是 A，那「數學是自然科學的語言」這現象則沒甚麼神奇了。因為是先有因，後有果。「因」是人們在探索大自然、天文學、物理學時遇到困難，「果」是創造了數學作為解決工具，整件事不足為奇。但如果是 B，則奇怪了。這意味數學家有如先知，預早準備好合適的數學語言。待日後物理學家研究宇宙遇上樽頸位，只需順手黏來這些工具，便水到渠成。若果真如此，不是太巧合和神奇嗎？
    實情是，數學和自然科學的關係，是 A 和 B 皆有！
    舉例，我早在 4.1 已草草提及「牛頓為了從 (18) 萬有引力定律推導星體的移動軌跡，而發明了微積分」。這正是情況 A，牛頓為了解決自然科學的問題，而發明了新的數學 — 微積分。這無疑顯出牛頓的天才，但事情的發展至少是有跡可尋，順理成章。
    另一方面，縱觀數學和科學的發展史，竟也有情況 B 的例子！不用賣關子，那便是本節主題 — 相對論。我們反覆強調「連偉大的相對論，也要運用高等數學。這不是很神奇嗎？」，但真正神奇之處是：相對論誕生於 20 世紀初，但它所運用的高等數學，竟早在 19 世紀已準備妥當！
    4.6. 相對論與黎曼幾何
    相對論所使用的數學語言，是前述的黎曼幾何。黎曼（Riemann）是 19 世紀最偉大的數學家之一。他創立的黎曼幾何，是現代幾何學的中流砥柱，每個研究幾何學（geometry）甚或拓樸學（topology）的人都必須熟讀。
    那黎曼幾何是甚麼呢？
    簡單而言，它是小學和中學那些基礎幾何學的很自然的延續。
    記得在小學，最先接觸是平面圖形：三角形、正方形、圓形等，然後再學甚麼是長度、闊度、角度等。最後又會教如何計面積，例如三角形面積 = 底邊 × 高度 ÷ 2，圓形面積 = 半徑 × 半經 × π 等。
    到中學，開始學立體形狀的計算，例如球體體積、球體表面積、錐體體積等。
    接著，我們可以進一步追問：
    • 如何計算非平面圖形？例如，在一個球體表面畫一個彎曲的三角形，應該如何計算其面積？
    • 平面圖形是 2 維的，立體形狀是 3 維的。那麼 4 維、5 維形狀（以第 3 部分語言，即是流形）的「體積」應該如何計算？
    以上問題，便是黎曼幾何學所關心的。
    由此可見，黎曼幾何的出現是順理成章的：當人們掌握了基礎平面圖形、立體形狀的計算，受著好奇心驅使，自然而然便想探索更艱難的問題，將知識的邊界愈推愈遠。當出現了黎曼這種天才數學家，這研究彎曲形狀、高維形狀的幾何學，便應運而生了。
    然而，必須留意一點：黎曼幾何學，是由於對純粹數學學問的追求而產生的，而不是基於實際生活的需求。
    舉例：你走在街上，會不會忽然出現個「彎曲的 5 維形狀」，令你需要計算其長度闊度體積？當然不會，因為這東西根本不存在於平常生活中！
    而黎曼幾何創立於 19 世紀。當時，在數學以外，它根本沒有丁點兒的實際用途！人們只是本著非常非常純粹對數學的熱誠來學習它、研究它。
    但 19 世紀的人發夢也估不到，包括黎曼自己也發夢都估不到，這套黎曼幾何，竟然在 20 世紀，被另一天才：愛因斯坦，順手拈來用上，並發明了廣義相對論！其應用範疇，竟然是天文學！而且正如前述，相對論不但解決了前述的水星軌跡問題，更徹底革新了物理學家對時間、空間、引力、和物體移動軌跡的認知！
    而這一切，都必須建基於黎曼幾何，那原本是極為純粹的一個數學分支！
    這徹徹底底，正是 4.5 部分所述的「情況 B 」：人們首先創造了一些數學理論，繼而發現這些數學在研究自然科學時大派用場。
    這只是巧合嗎？還是黎曼有預知能力？！
    兜了超大個圈，我只希望讓讀者體會到：連偉大的相對論，也要運用高等數學。這不是很神奇嗎？
    4.7. 總結
    好，終於要為這部分作結了。第 4 部分想帶出的數學的浪漫，可以分兩方面：
    第一方面，數學是宇宙的語言，意思是要研究宇宙，必須借助數學。宇宙，實在沒有甚麼比它更神祕，浩大，迷人了。透過數學理論，我們可以計算星體之間的萬有引力，它們的運行軌跡。哈雷彗星，在 1981 靠近過地球，近得以肉眼也能看見。我們透過數學公式研究它，知道這次它掠過之後，便一定會以橢圓路徑，被太陽的引力拋走，飛越八大行星的軌道，然後續漸減慢，有氣無力地抵達海王星以外的太陽系邊緣地帶，才回頭，反方向回衝，又朝着太陽系中心衝去。而且在 2061 年，肯定地，可以被人們以肉眼再次目睹。而我們如此肯定，可對億萬里之外，上百年以後的事情了然於胸，還要歸功於數學公式，以及牛頓的萬有引力定律和愛因斯坦的相對論。不至如此，即使離開太陽系，當我們研究其他恆星的軌跡、甚至星系之間的運動；或分佈宇宙各處的黑洞、中子星；或早期宇宙、大爆炸理論、宇宙膨脹理論；甚至量子力學、量子場論、超弦理論、等等等等，全部都牽涉數學！
    故此，探索宇宙，我們人類一直都需要數學。
    （圖片來源）
    第二方面，是數學出奇不意的應用 — 我在 4.3 至 4.6 部分的故事便是想帶出這一點。黎曼幾何，在 19 世紀只是純粹的數學，在 20 世紀卻成為廣義相對論的基礎。而這種「巧合」，亦絕非單一事件。例如：
    • 數論（number theory）始於兩千年前，一直是「十分純的數學」（可見 3.3 部分，關於質數）。在二十世紀卻被應用在密碼學、加密通訊上。
    • 繩結理論（knot theory）始於 18、19 世紀。在近幾十年，當生物學家發現原來蛋白質，DNA 也會打結，繩結理論便大派用場。
    • 還有如 Calabi-Yau 流形在弦論的應用等（不過筆者對此一竅不通）
    這種「巧合」現象，實在是十分驚奇的。因為，大都分數學都十分抽象！記得第 3 部分「孤高獨立：數學之抽象」，篇幅極長，正是要說明此特徵。而第 3 部分的小結亦明明白白寫道：「數學的研究對象是 formal patterns，即抽象且具邏輯的 patterns。第 3 部分展示了『抽象，脫離現實』一環。」數學的定義、定理、證明，一層層堆疊，高不見頂，一層比一層艱深且抽象，按理說應該是愈來愈遠離現實。這好比一個旅行者走到城市的邊緣，遠離塵囂，向著深山進發。起初還有一個半個行山客，迎面而來。但他愈走，沿途景色愈荒蕪，愈是人跡罕見，伴他而行只有稀落的飛鳥蹤影。最終，連動物也沒了，四周鴉雀無聲，所謂千山鳥飛絕，萬徑人蹤滅。
    我覺得這就是研究抽象數學的意境 — 開荒，到達杳無人煙之地。
    但可能是數十年後，這種抽象數學會忽然被應用在某個科學領域中，令它由「無用」變成「有用」，由「出世」變成「入世」。這種情況，往往令人難以置信，不由得佩服數學的奧妙。
    第 4 部分小結：數學是研究宇宙的語言；數學更有時有出人意料的應用。
    （待續⋯⋯）
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