三角 X 斜率 X 微積分

立場新聞 2015/12/16 13:16

    上回介紹了三角學的基本函數 sine 和 cosine 與圓形的關係。在下回介紹圓周率  π  之前，有一項非常重要的結果必須首先介紹。
    對於一條任意畫的線，只要它是可以一筆過不斷開地畫出來和沒有尖角的 （嚴謹的數學概念叫連續的和可微分的），那麼我們就可以定義一個叫做斜率的東西：
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    換句話說，斜率就是描述該線段相對於橫軸的斜度而已，即是講一道斜坡相對於平地有多斜。從上式定義之中，可見斜率以小數或分數來表示的。日常生活中，通常我們都習慣用角度表示斜率，不過這對我們的討論沒有影響。
    數學中一個非常重要的技巧就是微積分 (calculus)。微積分是牛頓 (Isaac Newton) 和萊布尼茲 (Gottfried Leibniz) 在同一時期分別獨自發現的。現在我們用的微積分符號是萊布尼茲的版本。如果沒有微積分，今天我們日常生活中各式各樣便利的現代發明都不可能存在。微積分可說是人類史上最重要的數學發現。
    故名思義，微積分就是微分和積分的運算。在我們的討論裡不會用到微積分的運算，大家只需要記住：微分就是計算無限短的線段的斜率的方法。至於積分我們會在以後再講。
    在上回圖中，我們知道了 sine 和 cosine 函數的圖形。現在我們問，它們的斜率是多少？換句話說，我們問：
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    有學習過微分運算的讀者，必定能夠立即說出答案：
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    根據 cosine 的定義 (見上回討論)，我們可以直接看出直線 BC 的長度就是
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    現在需要一點平面幾何想像力。由於 Δθ 趨向無限小，角 OAB 就趨向直角。所以我們可以看出角 BAC 等於 θ 。考慮三角形 ABC，我們就有
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    最後把 (1) 和 (2) 式相等，就有
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    下回，就讓我們來證明圓周率 π 是永恆不變的常數吧！
    延伸閱讀：
    《畢氏定理 X 圓 X 三角學》- 余海峯
    《加菲證明畢氏定理》- 余海峯
    原文刊於作者博客。