Pi 是永恆 (一)

立場新聞 2015/12/17 12:56

亞視永恆。但有些東西可以比亞視更永恆。

我們都學過圓周率，而且我們都知道圓周率的名字叫做 π。在學校裡，我們必定學過一條公式，就是如何用一個圓形的半徑去計算它的周長，即是圓周：

有史記載第一個證明 π 是常數的人，有說是阿基米德。他使用極限 (limit) 的數學概念，以逼近法把 π 好像夾三文治一樣夾出來！從而證明它是一個常數，計算出 π 在 3.1408 和 3.1429 之間，準確至兩個小數位。事實上，π 是無窮無盡的，即是它擁有無限個小數位，怎樣計也永遠計不完。現代的超級電腦，可以把 π 計算至萬億個小數位。可是，萬億個小數位距離無限，仍然是無限遠。

我們知道這些都是事實。可是，我們又有沒有想過，為。什。麼？

在這一連幾篇文章中，我會用兩個不同的方法去證明 π 是一個常數，即是證明所有圓形的圓周率都是一樣的。換句話說，我們會證明所有圓形的圓周與直徑的比例都是一樣的。然後我會介紹其他與圓形和 π 有關的問題和故事。好了，我們開始吧！

首先第一個證明，涉及微積分的概念。注意在此證明之中我並不會用到實際微積分的運算技巧；使用微積分的符號只為證明的完整和方便而已。未學過微積分的讀者不用太過在意，只需要知道記住「積分」只是計算無限短的長度的加法，而「微分」可想成是積分的反向操作而已。 (也可參考上回，微分是計算無限短線段的斜率的方法)

因此圓周的斜率就是

把上式放回積分裡，就有

把開方裡面通分母再化簡，就得到

在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》裡，我們已經知道

。所以

在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》裡，我們也知道

。所以我們要知道的就是：當 θ 改變少許的時候

改變多少？心水清的讀者已經知道，這正正就是上回講到的斜率了，只不過由計算

變成計算

，概念一樣。而且從上回的討論中我們已經知道 cosine 的斜率就是負 sine，因此

最後，我們來證明這個數字等於 π 。其實這也不可以說是一個「證明」，只是一個定義 π 的方法罷了。不過有了這個定義，下回我們就可以計算 π 的數值。數學上，我們習慣把角度的 180 度叫做一個 π 。繞圓周轉一圈是 360 度，所以半個圓周周長就是把上式由 0 度積分至 180 度，即是由 0 積分至一個 π ：

π 是永恆。下回，我們來看看它如何能夠 loop 到下個世紀，仲未埋尾。