淺談 E=mc^2：愛因斯坦 137 歲誕辰

立場新聞 2016/03/14 00:34

    每年的 3 月 14 號是 Pi Day 圓周率日，因為 Pi = 3.141529……。
    今天同時也是愛因斯坦 137 歲生日。去年 3 月 14 號，我寫了《拋開常識的學者．愛因斯坦》一文去紀念這位物理學家的 136 歲誕辰。文中我介紹了愛因斯坦的前半生平。關於他的成名之作相對論，我後來也在其他文章了作了簡單介紹，包括《你也能懂相對論》淺談狹義相對論的基本數學和《照亮相對論的光（上）、（下）》介紹了相對論與電磁學的關係。
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    我家靜止不動的兩隻喵星人。
    想像有一隻喵星人。愛因斯坦本來並非說喵星人，而是一個廣義的物理系統，只不過我選擇喵星人做這個物理系統。這隻喵星人會發光（我們今天不討論生物學）。喵星人在靜止不動的時候（牠們很擅長），就有

    總能量 = 喵星人能量  E0 。

    然後想像喵星人發光。由於光是能量，所以我們就會有

    總能量 = 喵星人發光後的能量  E1 + 光的能量。

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    總能量 = 喵星人能量  H0 。
    注意  H0  不等於  E0，因為喵星人的運動狀態不同。然後，我們亦見到喵星人發光。我們知道一道波動在不同的波源運動狀態下，其頻率會有所改變，例如我們會聽到救護車的警報聲由高頻變成低頻，這現象叫做都普勒效應 (Doppler effect)。光也是波動的一種（電磁波動），因此也會有都普勒效應。不過由於光以光速行進，聲波的都普勒公式並不適用，我們需要使用相對論都普勒公式：
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    所以
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    於由能量守恆，喵星人發光前後的總能量必須相等，簡化後就有
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    把上述兩式相減，我們就得到
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    把上式右邊做泰勒展開 (Taylor expansion)，忽略所有 4 次方或更高冪項，就得到近似值
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    化簡後得到
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    即是發光的能量來自喵星人的質量。除了發光外，考慮任何能量為  E  的物理過程，上述推導過程都完全一樣。因此
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    愛因斯坦，祝你生日快樂。喵。
    延伸閱讀：
    《拋開常識的學者．愛因斯坦》 – 余海峯
    《你也能懂相對論》 – 余海峯
    《照亮相對論的光（上）》 – 余海峯
    《照亮相對論的光（下）》 – 余海峯
    原文刊於作者博客